Unsere Auftaktveranstaltung: Was ist mathematisches Denken und braucht man das überhaupt?

Mathematik hat in Deutschland nicht den besten Ruf. Liest man die verschiedensten Tages- und Wochenzeitungen kommt man leicht zur Auffassung, dass die Astrologie für das tägliche Leben mehr Bedeutung hat, als etwa ein grundlegendes Verständnis für Stochastik. Politiker und Showmaster  kokettieren mit der Aussage, Mathematik niemals auch nur ansatzweise verstanden zu haben. Eine Fernsehserie wie „Numbers“, die die Mathematikerin, den Mathematiker bzw. die Mathematik an sich mit dem Prädikat „sexy“ belegt, scheint als deutsche Produktion undenkbar.

Seit Jahren muss ich mitverfolgen, wie das mathematische Niveau deutscher Schulabsolventen sinkt und Gutmenschenpädagogen diesen Umstand als Erfolg des Bildungssystems feiern. Ständig wird darüber diskutiert, ob man denn diese und jene mathematische Fertigkeit denn überhaupt braucht. Ein deutscher Philosoph, der Lenin bis Lüdenscheit hat kommen sehen, meint gar, dass Mathematikunterricht nicht für alle Schüler von Nöten ist.

Unser Mooc heißt „mathematisch Denken!“ . Mit ihm wollen wir insbesondere zeigen, dass Mathematik mehr als eine Art Hilfswissenschaft ist, deren Ausführung gerne dem Smartphone der eigenen Wahl anvertraut werden darf.

Am 28. Oktober  führen wir als Auftaktveranstaltung für unseren Mooc von 18 bis 20 Uhr eine Podiumsdiskussion zum Thema „Mathematisch Denken“ durch, die auch als Livestream übertragen wird.

Vorab haben wir schon mal einen Professor für Mathematik zu dem Thema befragt. Prof. Dr. Nothnagel forscht und lehrt an der Uni Köln an der Schnittstelle zwischen Mathematik und Genetik. Ich kenne ihn seit 1982. Von der 5. bis zur 7. Klasse war ich sein Mathematiklehrer an der 28. POS in Berlin Buch. Mir war damals schon klar, dass Michael über ein mathematisches Verständnis verfügt, das ich nie erreichen werde. Hier das Interview:

Natürlich interessiert uns nicht nur die Meinung von Mathematikern. Mannheim ist eine ziemlich mathematische Stadt, denn sie ist vom Grundriss her quadratisch aufgebaut. Hier einige Meinungen aus Mannheim zur Idee des „Mathematischen Denkens“

Die Diskussion ist eröffnet.

 

Morph the Khan: Schrei nach Hilfe

Was hat Khan richtig gemacht?

Auch wenn ich mich  in diversen Kommentaren sehr negativ über die Khanvideos geäußert habe, manches hat er natürlich auch richtig gemacht. Insbesondere wird in den Khanvideos nicht mit vorgefertigten Zeichnungen gearbeitet sondern selbige entstehen beim Vortrag. Gut, das ist nichts Neues, aber man muss es halt machen und wir werden es in unseren Videoaufzeichnungen ebenso halten.

Der Vorteil der Skizze: Sichtbarkeit ihrer Entstehung und Nachvollziehbarkeit

Mit Skizzen können mathematische Sachverhalte visualisiert werden. Damit der Lernende die Skizze richtig versteht, sollte er ihrer Entstehung beiwohnen. Bei fertigen Skizzen greift das sogenannte Figurkonzept: Man sieht ein schönes Bild, analysiert es jedoch nicht. Lege ich dem Schüler sofort die bekannte Figur zum Satz des Pythagoras als Ganzes vor, so sieht er einen hübschen Gesamteindruck, also etwa ein Dreieck mit zwei Buckeln und einem Bauch, er analysiert jedoch nicht, dass da die Katheten und die Hypotenuse quadriert wurden. Hier ein weiteres Beispiel für das Figurkonzept:

Analysiere die Folge der Zeichen.

wohnt man der Generierung der einzelnen Folgeglieder bei ist die Aufgabe ein Kinderspiel. Sieht man nur das fertige Endprodukt, grübelt man schon eine Weile.

Khanvideos zeigen dem Lernenden die Entstehung der Skizzen, das ist didaktisch sinnvoller als der der sofortige Einsatz einer fertigen Hochglanzzeichnung. Dazu kommt, dass die Skizzen mit minimalistischen Mitteln generiert werden: Oh das könnte ich jederzeit auch selbst tun. Natürlich stößt dieser Minimalismus an gewisse Grenzen, aber häufig ist er ausreichend.

Der Nachteil der Skizze: die Statik

Freihandskizzen haben einen Nachteil: sie sind statisch. Demgegenüber steht die Idee des funktionalen Zusammenhangs, die einen wesentlichen Teil mathematischen Denkens ausmacht. Visualisierungen funktionaler Zusammenhänge schreien nach Dynamik à la Geogebra und Co.

Der Nachteil der dynamischer Matheapps: Die Entstehung der Skizzen ist nicht immer unmittelbar nachvollziebar

So schön sie sind die Programme wie Geogebra, Sketchpad und wie Sie alle heißen mögen, die Entstehung der grafischen Darstellungen läuft häufig in Makros ab und ist daher nicht so unmittelbar verfolgbar wie es bei einer Handskizze der Fall ist, bei der letztlich alles selbst gemacht werden muss. Dieser Nachteil wird häufig durch die tollen Animationen die nun möglich sind wettgemacht. Im Kontext unseres MOOCs bleibt jedoch die Frage ob der Lernende dann nicht schon abgeschaltet hat.

Suche nach der Vereinigung von Skizze und dynamischer Geometrie

Der suchende Didaktiker fragt sich, ob man denn nicht beide Methoden vereinigen könnte:

  1. Generierung der Skizze per Hand
  2. Manipulation der händisch gefertigten Skizze wie bei einem dynamischen Geometriesystem

Vorbild zu dieser Überlegung waren für mich diverse Szenen aus der Werbung: Eine händisch gefertigte Zeichnung geht in die Realität über.

Wer hat Ideen?

Pythagoras, sein Satz und seine Tripel und der prinzipielle Aufbau einer Unit des MatheMOOCs

Galerie

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Die ersten Vorstellungen sind gereift Einiges hat sich in unseren Köpfen bezüglich des Aufbaus des Mathe-MOOCs schon getan: Aus unserem ursprünglich angedachten Doppel-MOOC wird ein MOOC, in dem die beiden Zweige Arithmetik und Geometrie parallel zueinander laufen. Christian (Arithmetik) und ich … Weiterlesen

Flug der Taube, unbeugsamer Arm, Kopfarithmetik und Kopfgeometrie

Arbeit mit Aufgaben bei der Vermittlung von Mathematik

Ein tieferes Verständnis für mathematische Begriffe und Zusammenhänge erhält man nur dadurch, dass man Mathematik betreibt. Ein Problem vieler MOOCs besteht darin, dass der Lehrstoff lediglich mittels Videos und ähnlichen Medien zum Vortrage gebracht wird. Eine grundlegende Idee unseres MOOCs wird darin bestehen, dass die Lernenden durch die Bearbeitung von  Arbeitsaufträgen sich zum Teil selbst in den Gegenstand der jeweiligen Unit einarbeiten. Nach entsprechenden Zusammenfassungen dienen klassische Übungsaufgaben der Vertiefung des Gelernten.

Die Idee der Einstiegsübung: Warm Up

Auch wenn sie bei einer jüngeren Generation von Mathematiklehrern und Mathematikdidaktikern ein wenig in Vergessenheit geraten ist, hat sie nichts an ihrer Bedeutung für die Vermittlung von mathematischen Lehrinhalten verloren, die sogenannte tägliche Übung. Mathematik Treiben kann auch als eine Art von Gehirntraining betrachtet werden. Der Sportler wird es tun, warum sollten wir nicht auch zu Beginn unseres mathematischen Trainings mit einem Warm Up beginnen: Kleine mathematische Übungen verschiedenster Art, die unser Gehirn auf Betriebstemperatur bringen und ggf. gewisse mathematischen Ideen reaktivieren, die im Laufe der folgenden Auseinandersetzung mit der  jeweiligen Unit von Nutzen sein werden.

Mehr als nur warm werden

Im Mathematikunterricht verfolgt man mit der Einstiegsübung zu Beginn der Stunde nicht nur die Idee des Aufwärmens und den Zweck der Reaktivierung mathematischen Wissens und Könnens. Zunächst ist jedem klar, dass Mathematiklernen ohne Übungen nicht machbar sein wird. Setzt man den Schwierigkeitsgrad der Einstiegsübung so an, dass die  die Aufgaben nicht zu schwer aber auch nicht zu leicht sind, wird der Übende nach dem Lösen der Aufgaben eine gewisse Befriedigung empfinden: Schön, wir haben schon was geschafft und heute läuft es gut. Wir können uns also an den eigentlichen Teil der Unit heranwagen.

Der unbeugsame Arm: pure Konzentration

Jeder weiß es, insbesondere bei der Arbeit vor dem Bildschirm ist es schwierig, immer die nötige Konzentration für selbige aufzubringen. Besser ist es, wenn das Mailprogramm nicht läuft … .  In gewisser Weise verfolgt die Idee der geschilderten Einstiegsübung auch das Ziel, die nötige Arbeitskonzentration aufzubauen. Es liegt nahe, weitere auch außermathematische Konzentrationsübungen wie etwa den aus den asiatischen Kampfeskünsten bekannten „unbeugsamen Arm“ anzubieten.

Die spezielle mathematische Konzentrationsübung

Die Idee asiatische Kampfeskunst und Lernen von Mathematik zu verbinden, verfolge ich  seit drei Semestern. In einer speziellen Lehrveranstaltung „Selbstverteidigung und mentales Training“ versuchen wir (Charly Gärtner, Andreas Schnirch und ich) interessierte Studierende mittels des sogenannten Heidelberger Kompetenztrainings und Elementen der Selbstverteidigung mental zu stärken. Der Einstieg in die Übungsstunde besteht immer aus Konzentrationsübungen aus dem Qigong bzw. Tai Chi    wie dem „unbeugsamen Arm“ und dem „Flug der Taube“. Unmittelbar daran schließt sich eine Übung zu Kopfgeometrie an. Ein diesbezügliches Beispiel:

Wir schließen die Augen und denken uns ein Quadrat ABCD. Unten sehen wir die Seite AB, oben die Seite CD. Jetzt denken wir uns den Umkreis k des Quadrates ABCD. Die beiden Quadratseiten rechts und links verkürzen sich jetzt beide im selben Maße. Dabei bleiben die Punkte A, B, C und D immer auf dem Kreis k, der  sich nicht geändert hat.  Wir stoppen den Prozess der Seitenverkürzung und merken uns was für ein Viereck aus dem ursprünglichen Quadrat geworden ist. Jetzt lassen wir die obere Seite CD derart nach oben wandern, dass sie immer parallel zur unteren Seite AB bleibt. CD ändert dabei seine Länge weil die Punkte C und D Punkte des Kreises k bleiben. Wir stoppen die Bewegung von CD. Was für ein Viereck ist ABCD jetzt?

Konzentrationsübungen im Rahmen eines MOOCs?

Probieren wir es aus. Wir werden entsprechende Audiofiles in den MOOC integrieren. Und wenn schon Kopfgeometrie warum nicht auch Kopfarithmetik. Ich schätze Christian wird was dazu einfallen.