Pythagoras, sein Satz und seine Tripel und der prinzipielle Aufbau einer Unit des MatheMOOCs

Die ersten Vorstellungen sind gereift

Einiges hat sich in unseren Köpfen bezüglich des Aufbaus des Mathe-MOOCs schon getan:

  • Aus unserem ursprünglich angedachten Doppel-MOOC wird ein MOOC, in dem die beiden Zweige Arithmetik und Geometrie parallel zueinander laufen.
  • Christian (Arithmetik) und ich (Geometrie) beginnen jede Unit jeweils gemeinsam mit einem Motivierungsvideo.
  • Wir werden ca. 14  Units produzieren.
  • Jede Unit wird vom Prinzip her denselben Aufbau haben.

Da sich die Teilnehmer für unseren MOOC bereits anmelden können und es sicherlich nicht so prikelnd ist, nach der Anmeldung als Kursinhalt die leere Menge betrachten zu dürfen, werden wir eine kürzere Unit 0 produzieren, die verdeutlicht, wie wir uns die Arbeit mit dem Mathe-MOOC vorstellen. Diese Unit 0 wird den Herrn Pythagoras (Motivierungsvideo), den nach ihm benannten Satz (Geometriezweig) und die bekannten Pythagoreischen Zahlentripel (Arithmetikzweig) zum Gegenstand haben.

Der Geometriezweig dieser Unit 0 möge im folgenden der Illustration des typischen Aufbaus einer Mathe-MOOC-Unit dienen.

Unit 0: Pythagoras, Satz von Pythagoras, Pythagoreische Zahlentripel

Vorbemerkung

Oberstudienrat Cramer hat es gern deduktiv. Er wird also einen der bekannten Beweise des Satzes von Pythagoras vorführen und am Ende der Vorführung steht der Satz bewiesen an der Tafel. Nun ist Deduktion sicher eine Denkweise der Mathematiker jedoch nicht die einzige. Eine Grundregel der Mathematikdidaktik bezüglich der Behandlung von Sätzen lautet: Wenn es geht, dann finde den Satz mit deinen Schülern nicht deduktiv. Die Intention dieser Regel dürfte klar sein: Bei der deduktiven Satzfindung hast du zwar gleich den Beweis, allerdings hast du auch zwei Probleme auf einmal. Zum einen muss der Beweis verstanden werden und zum anderen der Satz. Es ist sinnvoll, diese beiden Probleme zunächst voneinander zu trennen. Also finden wir erst den Satz und versuchen ihn in seiner Tragweite zu verstehen um ihn später zu beweisen.

Phase 0: Konzentration, Warm Up

Zum Finden des Satzes von Pythagoras brauchen wir den Satz des Thales. Ferner müssen die Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck klar sein. Das entsprechende Wissen werden wir im Warm Up reaktivieren.

Kopfgeometrie

Schließe die Augen und stell dir einen Kreis mit dem Mittelpunkt M vor. Von unten wandert eine Gerade in unsere Szene. Diese schneidet jetzt den Kreis in den beiden Punkten A und B. Im unteren Teil des Kreises bleibt die Gerade stehen. Betrachte nur noch den Teil der Gerade, der die Sehne AB ist. Oben auf dem Kreis befindet sich der Punkt C. Betrachte jetzt den Winkel ACB, also den Winkel der C als Scheitel hat und dessen Schenkel durch A bzw. B gehen. Die Sehne AB wandert jetzt in Richtung Kreismittelpunkt. Was passiert mit der Größe des Winkels bei C? Die Sehne AB erreicht den Kreismittelpunkt M und wandert über diesen hinaus. was passiert mit der Größe  des Winkels bei C?

Einfache Übungsaufgaben (EXEMPLARISCHE Auswahl)

Aufgabe 0.1 (grundlegendes Wissen über rechtwinklige Dreiecke)

Aufgaben zum Identifizieren und Realisieren von Begriffen wie Kathete, Hypotenuse …

Aufgabe 0.2 (Thalessatz)

Berechne die Größe der fehlenden Winkel

Berechne die fehlenden Winkelgrößen.

Phase 1: Motivierung, Zielorientierung

Video zu Pythagoras. Insbesondere die historische Person wird vorgestellt.

Phase 2: Arbeitsaufträge zum Entdecken

Satzfindung

Es kommt u.a. eine Geogebraapplikation zum Einsatz: Mittels des Thalessatzes wurde ein rechtwinkliges Dreieck generiert, welches zur „Pythagorasfigur“  ergänzt wurde. Der Scheitel des rechten Winkels unseres Dreiecks lässt sich auf dem Kreis bewegen.

Pythagoras_Herleitung_gesamt Kopie

Die hier exemplarisch ausgewählten Screenshots lassen vermuten, dass die Summe aus der gelben und der roten Fläche gleich der blauen Fläche ist. (Warum? Der Leser mache sich seine eigenen Gedanken.)

Beweisfindung

Aufgaben zu dem bekannten hier ikonisierten Beweis:

Pythagoras_Beweis_00

Die rechte Figur, die die Binomische Formel ikonisiert, wird von Christian im Arithmetikzweig thematisiert. (Auch hier möge sich der geneigte Leser des Blogs ermuntert fühlen, den Beweis nachzuvollziehen.)

Phase 3 Video zum Lehrstoff auf enaktiver und ikonischer Repräsentationstufe

Videodarbietung der Ergebnisse die sich aus der Phase 2 ergeben auf mittlerem formalen Niveau. Wir verdeutlichen das, was die Lernenden sich in Phase 2 erarbeitet haben, auf enaktiver und ikonischer Repräsentationsstufe.  Sprich: wir legen etwa den Beweis mit Applikationen etc.

Phase 4 Video zum Lehrstoff auf formaler Repräsentationstufe

Der Stoff noch noch einmal, jetzt jedoch auf formaler Repräsentationsstufe in der üblichen mathematischen Formelsprache.

Phase 5 Übungsaufgaben

Die Lernenden vertiefen und festigen das Gelernte mittels einer Auswahl verschiedenster Aufgaben.

Phase 6 Zusammenfassung

Kurzes Video zur Zusammenfassung des in der Unit Gelernten.

Vieles bleibt natürlich noch offen

Die entscheidende Frage wird sein, ob wir dieses Prinzip durchhalten können, wenn wir uns nicht nur irgendwelche schönen Highlights herausgreifen können. Schließlich liegt dem Ganzen ein geschlossener Kurs zugrunde, den unsere Studierenden parallel zu den Teilnehmern des MOOCs durchlaufen. Da muss man dann auch mal weniger aufregende Dinge wie etwa Halbebenen und Halbräume behandeln. Aber irgendwie versuchen wir ja schon länger, auch diese eher „trockenen“ Themen entsprechend obigen Themas umzusetzen.

Für Hinweise, Bemerkungen, Kritik sind wir jederzeit dankbar.

14 Gedanken zu „Pythagoras, sein Satz und seine Tripel und der prinzipielle Aufbau einer Unit des MatheMOOCs

  1. wie wärs mit praktischen anwendungsbeispielen des satzes im alltag? zum beispiel in der architektur, die bildschirmdiagonale des neuen flachbildschirms, oder rapunzel, nachdem sie sich die haare abgeschnitten hat … der prinz muss doch wissen, wie hoch die leiter sein muss, um zu ihr zu gelangen …

    und was seine ungebrochene popularität angeht: allein auf youtube findet man über 83.000 videos, die mit pythagoras und seinem satz zusammenhängen. kein wunder braucht doch die bibel 31.171 sätze – und pythagoras nur einen einzigen!

  2. Meine Ergänzungen zum Arithmetik-Teil:

    Phase 0: Ich vermute, dass es sinnvoll ist, wenn ich mit einer anderen Konzentrations-/Warm-Up-Aufgabe beginne (der Satz des Thales usw. ist zu geometrie-spezifisch und führt nicht auf pythagoräische Zahlentripel). Ich würde vorschlagen, dass ich mit Kopfrechnen beginne, und zwar dem Quadrieren von Zahlen im Kopf… kleine Kopfrechenaufgaben der Form „15*15“, „27*27“, „63*63″… dabei Selbstbeobachtung, anschließend Reflexion. „Wie löse ich diese Aufgaben?“; „Sehne ich mich nach einem Taschenrechner?“; „Wie könnte man geschickt vorgehen?“ … (das wird anschließend in Phase 5 wieder aufgegriffen, als Anwendungsaufgaben der ersten binomischen Formel).

    Phase 1: Motivierung (Pythagoras) ist identisch

    Phase 2: Aufgaben zum Entdecken: Kurze Einführung, was pythagoräische Zahlentripel sind: Wir legen aus kleinen Plättchen zwei Quadrate. Kann man diese Plättchen zu einem großen Quadrat umordnen? Dazu die Aufgabe: finde solche Quadrate… ggf. könnten diese Ergebnisse alle in einem Forenthread gesammelt werden. Außerdem die Suche nach Zahlen, die die Gleichung a³+b³=c³ erfüllen (wir setzen Würfel aus kleinen Bausteinen zusammen… können wir einen großen Würfel bauen?), oder allgemein a^n+b^n=c^n (dies wird später zu einer Erwähnung des großen Satzes von Fermat führen). … wie findet man unendlich viele weitere Tripel, wenn man bereits eins gefunden hat? (Multiplikation aller drei Zahlen mit Konstante t)… cool wäre es an dieser Stelle, eine Aufgabe zu finden, welche die Studenten hinleitet, das Konstruktionsprinzip für pythagoräische Zahlentripel zu finden. Mir ist aber keine gute Idee gekommen… hat jemand eine? … ansonsten gibt es eine Aufgabe, in der das Konstruktionsprinzip erklärt wird, und die Studierenden sollen es mehrfach anwenden und von der Richtigkeit überzeugen… gilt das immer? Wir brauchen einen Beweis… dazu benötigen wir die binomischen Formeln… aber, warum gelten die überhaupt?

    Phase 3: Ikonischer Beweis der 1. binomischen Formel

    Phase 4: Symbolischer Beweis der 1. binomischen Formel (dreifache Anwendung des Distributivgesetzes)

    Phase 5: Aufgaben a) Beweisen Sie das Konstruktionsprinzip der pythagoräischen Zahlentripel mithilfe der binomischen Formeln. b) Basteln Sie sich einen Kopfrechentrick für das Quadrieren von Zahlen mithilfe der binomischen Formeln. c) Basteln Sie sich weitere Kopfrechentricks… beweisen Sie ikonisch und/oder symbolisch (ein paar weitere Rechentricks werden angegeben, wenn man nicht selbst auf welche kommt)…

    Phase 6: Zusammenfassung, in der auch auf den großen Satz von Fermat eingegangen wird.

    • Mit dem Satz von Pythagoras haben wir eine besondere Situation. Es dürfte der bekannteste Satz sein, den man aus dem Mathematikunterricht der Schule kennt. Zumindest die Formulierung a^2+b^2=c^2 dürfte bei den meisten noch hängen geblieben sein. Dass man mit dem Satz auch gewisse Streckenlängen berechnen kann dürfte bei vielen Teilnehmern auch noch irgendwie präsent sein. Wir sollten das berücksichtigen und nicht die in der Schule häufig übliche Motivierung verwenden. Wir laufen ansonsten Gefahr, dass uns die Teilnehmer gleich wieder den Rücken kehren: Da sind ein paar Vögel, die uns dasselbe wie in der Schule andrehen wollen.
      Ich schlage deshalb zur Motivierung und zum Anwendungsbezug zum einen die historische Person Pythagoras und zum anderen den Algorithmus von Bresenham zum Zeichnen von Kreisen auf Pixelbildschirmen vor. Letzterer ist auf jeder Grafikkarte hardwaremäßig implementiert.

  3. Grundsätzlich ist mir die Sprache, mit der der Aufbau der Unit beschrieben wird, noch zu „didaktisch“: Bei Weblernen gibt es streng genommen keine „Arbeitsaufträge“, es gibt nur Aktionen, die ich (= der/die Lerner/in) unternehme, um etwas besser zu können oder zu verstehen.

    Die Struktur wäre also etwa folgende:
    – Warm-up (Gedankenspiel, Mathe als „den Geist reinigen“, zugleich Setting der Unit)
    – Motivierungsvideo: Hier zuerst weniger den Wert aufs Unterhaltsame legen, sondern darauf, dass jede/r Lerner/in versteht: „Warum ist das toll/wichtig, das zu können/verstehen? Was kann/verstehe ich hinterher besser als vorher?“
    – Phase 2: Entdecken und Ausprobieren. Die Leute bekommen quasi die Bausteine eines Spiels, das sie noch nicht beherrschen. Sie probieren ein wenig herum (und teilen idealer Weise die Resultate auf der sozialen Plattform).
    – Phase 3: Erste Erklärung (Guided Tour, Khan-Style): In 6 – 8 Minuten wird etwas erklärt. Entspannt, aber eben auch konzentriert. Dazu gibt es drei relativ schnell zu bearbeitende (einfache) Aufgaben, die dafür sorgen, dass die Leute das selbst gedacht haben und nicht nur die Erklärung ablaufen lassen. Aufruf zum Fragen stellen! (Das wichtigste Call to Action: Alle Fragen stellen, auch und gerade die „dummen Fragen“.) => Ist das in einem Pomodoro zu schaffen?
    – Phase 4: Zweite Erklärung (Guided Tour, Khan-Style): Wie oben, nur anders. (Z.B. Arithmetisch statt Geometrie …)
    – Phase 5: Drei Aufgaben, vielleicht auch mehrere zum Aussuchen. Die Leute bosseln an Aufgaben ihrer Wahl herum, sind aufgerufen, Fragen zu stellen und sich im sozialen Netzwerk auszutauschen: Laut denken, laut arbeiten, laut knobeln! (Gerade auch die Fehler sind wichtig, der Kurs selbst wird dadurch smarter, dass die vielen Holzwege überhaupt erst sichtbar werden.)
    – Phase 6: Zusammenfassung, anspruchsvollere Perspektiven andeuten (Video von C + M). Auch hier soziale Netzwerk-Resonanz, zum Austausch anregen. Die Leute könnten das Gelernte für sich selbst in knappen Sätzen oder Fragen formulieren …

    => Wie lange dauert es, das komplett durchzuspielen? D.h. wie viele Arbeitsphasen, und mit wie langen Arbeitsphasen rechnet ihr? (2 Pomodori pro Phase bei den Aktivisten?) Es sollte ja ein Workload von maximal 6 – 8 Stunden herauskommen, für Nomal-Mitmacher eher nur 3.

    • Pro Video, pro Aufgabe ein Pomodoro… grob angesetzt. Natürlich braucht der eine mehr und der andere weniger Zeit, aber in solchen Einheiten sollten wir in etwa denken. Ich denke in 10 Pomodoros für die Aktivisten (ca. 4 Stunden) pro MOOC (also 2×10 für den Doppel-MOOC) plus Zusatzpomodoros je nach Belieben.

  4. Phase 4 in meinem Teil ist zu mickrig. Ich würde vorschlagen, im Arithmetik-Part den Beweis der binomischen Formel auf beiden Wegen (symbolisch und ikonisch) in ein Video zu packen. Heute hab ich zufällig dasselbe Thema in der Vorlesung gehabt und aufgezeichnet: http://www.youtube.com/watch?v=cioYPZuu7EE

    Interessant finde ich, dass ich 11 Minuten gebraucht habe (gefühlt hätte ich vorher gesagt, ich brauche 5-6 Minuten). D.h ich muss selbst einen solchen Inhalt erheblich eindampfen… ohne dabei wichtige Erläuterungen aufgeben zu müssen…

  5. Ein Hallo in die Runde,

    Phythagoras ist an sich schon eine interessante Person, allerdings driftet man hier recht schnell vom eigentlichen Thema ab. Bei mir hat es ganz gut funktioniert, dass ich die Besucher über mehrere Wege immer mit den selben Inhalten anspreche ( http://www.satz-des.de/pythagoras/ ). Bisher habe ich mich aktiv gegen ein Video entschieden, da sich Mathe im Kopf und bei den meisten im Sprachzentrum abspielt. Lenke ich hier mit weiteren visuellen Reizen ab, verliere ich die Besucher und erziele kaum Lerneffekte.

    Wünsche Euch aber viel Spaß bei der Umsetzung.

    mit besten Grüßen

    Marc

  6. @ Marc: Vielen Dank für Deinen Kommentar. Mit unserem MOOC werden wir einen anderen Ansatz als Du mit Deiner Seite „Der Satz des ..“ verfolgen. Natürlich wollen wir auch den Satz vermitteln. Bei uns stehen jedoch mathematische Denkweisen im Vordergrund. Der Satz des Pythagoras ist dabei mehr als Beispiel zu sehen an dem wir die Sache hochziehen.
    Viele Grüße Michael
    PS: Es ist die Formelsprache und ihre Abstraktheit, die die Mathematik für die Schüler so schwer macht, weniger die Logik. Versuch doch mal der symbolischen Formelebene eine ikonische Ebene voranzustellen: Hier ein Beispiel zum Beweis des Thalessatzes (kann man sicher noch optimieren das Video, es geht um die Idee, das Formale bildlich anschaulich herunter zu transformieren):

  7. Ein weiteres Brainstorming heute hat ergeben:
    1) Einstieg über Mystery, Geheimzirkel, Pythagoras, … und dann: Welch Harmonie am Kreis! …. wie erzeugt man einen Kreis? Und der Computer?
    2) Video Handzirkel
    3) Geometrie: …. Satz des Pythagoras usw (… siehe oben …)
    4) Arithmetik: … bin. Formeln (siehe oben): ikonischer Beweis an der Tafel, symbolischer Beweis enaktiv (hehehe)
    5) Übungsaufgaben Arithmetik auch: Rechentricks beweisen (a la Josef Hutzl)
    6) Am Ende: Grafikkarte ausbauen, Bresenham-Algorithmus erläutern…
    Außerdem spielen Pizzen und Italien eine wichtige Rolle… 🙂

  8. Pingback: ErdRbant

  9. Da ich junge Mathe-Muffel motivieren will, freue ich mich über konkrete Beispieile wie und wo Mathe im täglichen Leben hilft. Wenn ich durch die Übungen dann noch die Sicherheit bekomme, dass ich die Beispiele plausibel und überzeugend vertreten kann, dann hat sich die Unit für mich schon gelohnt.

    NB: was sind Pomodoros? Und was mache ich mit denen? Brauche ich als Anpacker eine Mindestanzahl um die Teilnahmebestätigung zu erhalten? Gibt es einen Highscore pro Kurs / pro Teilnehmer-Kategorie? Gibt es separate Foren für die Kiebitze, Anpacker und Formalisierer.

    • Hallo Corinne,
      Mik Jaggers Geburtstag ist gerade vorbei und ich beginne mit „It’s Only Rock ’n Roll (But I Like It)“. Schönes Zitat: kein unmittelbar und gleich zu erkennender übergeordneter Sinn, keine ökonomischer Zweck. Just for fun and just for your OWN life.

      Wenn Du Deine Mathemuffel erreichen willst, dann suche nicht krampfhaft nach Anwendungen, die der Schüler, das Kind, der Jugendliche versteht und die dazu noch praxisbedeutsam sind. Auch wir werden Dir wohl nicht die ultimative Anwendung liefern können, die Deine Mathemuffel sofort und total überzeugt.

      Mein Freund ist Schreinermeister aus Leidenschaft. Wenn er eine Wendeltreppe baut, wird nicht so wahnsinnig viel gerechnet sondern an einem Modell aus Pappe solange herumgeschnitzt, bis es passt.

      Das ist übrigens eine grundlegende Vorgehensweise von Ingenieuren: Es wird „gefittet“.

      Der Bauingenieur hat ein dickes Buch mit Erfahrungswerten.

      In der Schule erzählen wir das nicht, da ist klar, es wir immer alles durchgerechnet. Gibt es ja auch die Fälle.

      Auf der Suche nach den Anwendungen die der Schüler versteht und die so in dieser Art und Weise wirklich bedeutsam im praktischen Leben sind wird es schwer für Dich werden. Du wirst das ein oder andere finden. Dann holt einer der Mathemuffel sein Smartphone raus und zeigt Dir eine App, die das alles ganz alleine kann.

      Wenn Du Deinen Mathemuffeln Mathe als Tool verkaufen willst, dann wird es schwer mit der Mathematik.

      Verkauf ihnen Mathe als ein großes Spiel, das den Geist schult und Spaß macht. Bei Literatur und Kunst fragen wir doch auch nicht ständig, was nutzt uns das. Es ist einfach nur geil, gute Literatur auf sich wirken zu lassen. Es erzeugt positive Emotionen sich der Sprachgewalt eines guten Schriftstellers hinzugeben. Sowas hat seine Auswirkung auf das persönliche Leben, es ist eine ungemeine Bereicherung desselben. Wann und wie und in welchem Ausmaß ist nicht so einfach vorher bestimmbar. Um einen guten Wein zu schmecken, bedarf es einiger Jahre Erfahrung.

      Mein Erfahrung ist, dass selbst Schüler einer verschrienen Hauptschule bereit sind, sich auf Mathematik als solches und nicht nur als Tool einzulassen.

      Lass sie selbst entdecken und zeige ihnen auf, wozu sie selbst in der Lage sind.

      Wie man sowas prinzipiell didaktisch anfängt, werden wir versuchen aufzuzeigen. Das wird uns mal gut mal weniger gut gelingen. Du wirst uns aber immer mit vollem Engagement erleben.

      Damit hast Du dann auch schon die Halbe Miete drin. Du bist zu einem gewissen Teil Entertainer und Showmaster. Vor allem bist Du selbst begeistert von der Materie, lass den Funken überspringen.

      Ich schließe mit ACDC: Let there be Rock.

      Ich freue mich auf Dich1
      Viele Grüße
      Micha

      PS: Zu Deinen weiteren Fragen morgen mehr.

    • @Corinne zu deinen weiteren Fragen: Pomodoros sind ca. 25-Minuten-Einheiten, nach denen man eine 5-minütige Pause machen sollte. Während eines Pomodoros sollte man sich ausschließlich mit der anvisierten Tätigkeit befassen (z.B. Matheaufgabe) und nicht durch andere Medien usw. ablenken lassen. Das Ganze kommt von der sogenannten „Pomodoro-Technik“: http://de.wikipedia.org/wiki/Pomodoro_Zeitmanagement

      Die Teilnahmebestätigung erhältst du am Ende, wenn du den Abschluss-Test bestanden hast. Wie viele Pomodoros du in der Zwischenzeit machst, bleibt dir alleine überlassen.

      Highscores wird’s vermutlich nicht geben, und eigentlich sind die Foren aufgabenspezifisch, nicht teilnehmerspezifisch. Aber die Idee, noch zusätzlich ein separates Forum z.B. für Kiebitze einzuführen, um dort kiebitzspezifische Probleme zu besprechen, ist gar nicht schlecht…

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